¿Qué es la escala? Las figuras semejantes. La proporcionalidad entre figuras.

¿Qué es la escala? Las figuras semejantes. La proporcionalidad entre figuras.

Es curioso saber que hay cosas que utilizamos hoy en día que fueron descubiertas o desarrolladas por personas hace más de 2000 años, cosas que para nosotros son habituales y que nos parecen de lo más sencillo, pero que en su momento supusieron una autentica revolución. Cuando la gente vivía en sencillas casas sin ordenadores, ni calculadoras, ni televisión, probablemente se fijaban en cosas que a nosotros nos pasan hoy desapercibidas.

Pero no nos liemos, hablemos de las escalas. La escala es una relación de proporcionalidad que nos permite medir algo en un papel y saber su verdadera magnitud sin tener que medirlo en la realidad. De esa forma podemos dibujar dos círculos de distinto tamaño en un papel y decir que representan la luna y la tierra. Si lo hacemos bien y utilizamos un escala, cualquier persona podrá saber cual es, por ejemplo el diámetro de la luna sin tener que subirse a un cohete y medirla in situ, o saber el diámetro de la tierra a partir del diámetro de la luna dibujada.

Definición de ley de semejanza de triángulos. La razón de proporcionalidad o semejanza: la escala.

¿Y sabes por qué? Por que las escalas son una aplicación práctica de los conceptos que se derivan del teorema de Tales, las figuras semejantes y los principios de proporcionalidad. Pero vamos por pasos.

¿Qué es la semejanza de triángulos? Fueron los griegos de la época clásica, Pitágoras, y Tales de Mileto, entre otros, los que de alguna manera desarrollaron las bases de la geometría moderna. ¿Y cómo lo hicieron? Pues estudiando el triángulo, que es la figura básica. De hecho, si unes dos puntos tienes una recta y si unes tres puntos tienes una forma geométrica, a partir de ahí uniendo cuatro, cinco, seis puntos o los que queramos, tendremos figuras geométricas de más lados, pero la forma más básica, la mínima, por decirlo de alguna forma, es el triángulo.

Estudiando los triángulos, los griegos encontraron infinidad de “atajos” que les servían para mejorar su vida diaria: por ejemplo, gracias a los triángulos y su estudio pudimos comenzar a medir las parcelas y por lo tanto a crear una base para los sistemas de propiedad, porque todos queremos saber cuanto mide nuestra propiedad ¿verdad?. También gracias al estudio de los triángulos y las relaciones entre sus lados y ángulos pudimos descubrir cual era la altura de una montaña, saber distancias sin tener que recorrerlas físicamente o situarse en medio del mar gracias a las estrellas.

Hay tantas aplicaciones que no tendríamos espacio ni tiempo para enumerarlas todas. Centrémonos en la escala.

La escala es una consecuencia directa del concepto de semejanza. Los griegos se dieron cuenta de que cuando se traza una línea paralela a uno de los lados de un triangulo se forma otro triangulo semejante al primero, es decir dos triángulos con ángulos iguales pero lados distintos.

Veámoslo con un ejemplo practico:

Tenemos dos figuras, uno más grande que la otra.

¿Son iguales? No

¿Es uno el doble de grande que el otro? No sabríamos decirlo

Ahora veamos estas figuras de papel:

¿Son iguales? No, pero tienen la misma forma.

¿Son unas el doble de grande que las otras? Se puede decir que si.

En el primer caso no estamos ante dos objetos semejantes, pero en el segundo caso estamos ante dos objetos semejantes ¿Por qué?

Definición de figuras semejantes (da lo mismo que sea un triangulo o cualquier forma tan compleja como quieras)

Dos figuras son semejantes si los ángulos entre sus lados en la primera figura son los mismos que los ángulos de los lados homólogos de la segunda figura.

En consecuencia, los lados de ambas figuras son proporcionales (eso lo aclararemos ahora)

Ya sabemos lo que es la semejanza, ahora hablamos de la proporcionalidad (ya queda menos para llegar a la escala)

Dos figuras semejantes solo lo son si los ángulos de lados homólogos son iguales. En la practica es ver dos figuras, una más grande que la otra pero con la misma forma (seguro que encuentras un ejemplo sencillo cerca de ti). Ahora bien, ¿Cuánto más grande es una figura de la otra?. Pues puede ser tan grande o pequeña como queramos siempre que conservemos los mismos ángulos, por que si no lo hacemos, ya no son semejantes. Esa relación de tamaño (imagina que es el doble de grande, el triple de grande o la mitad), es lo que llamamos razón de semejanza. Si es el doble, la razón de semejanza es 2, si es la mitad es 0,5 si es el triple es 3 y así sucesivamente.

La proporcionalidad. Dos figuras son proporcionales si son semejantes, es decir si guardan entre ellas una razón de semejanza. Hablar de proporcionalidad y semejanza es casi lo mismo. Al hablar de proporcionalidad introducimos un valor (la razón de semejanza)

Y para acabar, ¿Qué es la escala? La escala es la razón de semejanza pero dicho de otra forma. La escala es un concepto que utilizamos para planos y mapas, pero es lo mismo que decir razón de semejanza o razón de proporcionalidad. Podríamos decir “este plano tiene una razón de semejanza de 2 respecto a la realidad”, no lo hacemos porque en la vida se utilizan muchas veces “atajos” para que nos sea más fácil trabajar. La escala nos da la razón de semejanza entre el plano y la realidad.

Así pues, el plano es una figura semejante a la realidad pero normalmente más pequeña (también hay planos de ampliación, por ejemplo si representaos un microchip). Imagina el plano de tu casa. Si lo ves en papel te darás cuenta de que la forma de la planta de tu casa es la misma que la de la realidad. Imagina que  te fijas en una puerta en el plano y mides la distancia hasta la pared, y te das cuenta de que es dos veces la anchura de la puerta, es decir si la puerta mide 2 cm, la distancia hasta la pared es de 4cm. Ahora mide la realidad: la puerta mide 80cm, ¿Cuánto estará separada de la pared? Pues dos veces la anchura de la puerta, como sucedía en el plano, es decir, tiene que estar separada 160cm. El plano y la realidad son dos figuras semejantes cuya razón de semejanza se obtendrá de dividir la medida en la realidad entre la medida del plano:  160cm entre 4cm: 40 (sin unidad) por lo tanto 1cm del plano son 40cm en la realidad.

En la práctica decimos que la escala del plano es 1/40.